這樣的「數學焦慮」是顯於外的,還有更多是藏於內的。對曾在台灣中小學考試文化「淬煉」過的人來說,以下的「惡夢」或許不是特例:面對著一堆xyz、平方開根號、直角三角的數學考題,不是永遠寫不完考卷,就是明明用2B鉛筆畫好的答案格,因為太緊張,手汗浸濕了鉛筆痕,把答案弄糊了。「這回數學鐵零分,要留級了,」離開中學多少年,許多人對數學的「餘悸」內化到了潛意識。以數學家的角度看數學
台灣中小學學生的「數學焦慮」特別嚴重?
今年三月,來自台北市公立高中聯招會的一份資料指出,近六年台北市聯招的各科分數,數學與自然考題的得分率最低,考生的平均成績都是不及格。以民國八十五學年度來說,所有考生在數學科的題目,平均只答對五成五。
教育部去年對中小學學生課程喜好程度作調查,結果三分之一的小學學生,四成六的國中學生,最害怕的課程是數學,而且隨著年級增加,討厭數學的比例越來越高。
講起「數學焦慮症」,彰化師大數學系教授邱守榕指出,這個名詞來自西方,是六○年代學校教育普及後,因為數學教師人才缺乏,老師不夠專業衍伸出來的問題。
事實上,今人所習以為常的中小學數學課程,無論西方或東方,都源自於西歐工業革命後,如同語言、科學、史地、藝術跟體育等現代科目一樣,早先的數學課程,只是為少數的菁英所設,即使在本世紀六○年代學校教育普及後,數學教育也是以培養科學家為目的。
台灣自然也不例外。一直到現在,中小學數學科教材「簡化、淺化」的改革取向,目的也是為了脫離「單純以數學家的角度看數學教育,忽略學習者的接受程度,」師大心理輔導系研究生李祖盛形容。
但是數學教材的簡化、淺化,卻不意味著台灣學生學習數學的興趣日益提高。「數學老師怎麼帶則是關鍵,」大同中學數學老師林佳蓉說,就好像不是很容易理解的「球體積等於4/3pr3」的公式,有的老師會用很嚴謹的數學證明來解釋它,但也有老師會用實例,「從孩子認知的角度出發,」她說。
如同國中所學的(a+b)2=a2+2ab+b2的恆等式,如果學生夠以圖例的面積弄通關節,就能很自然地瞭解等式,而不是形式化的硬背公式。
現行高中數學版本還保留著類似數學家嚴謹的形式證明題,像數學歸納法,從學生認知的角度來看,顯然是超難題。台大數學系副教授黃敏晃認為,類似這樣的證明題還留在教材裡,或許是因為歷來編寫教科書的人認為它的論證邏輯「實在漂亮」,「學數學的人希望發揚光大數學傳承,」黃敏晃說。
這些數學範例保留在教本,如果僅是當作「數學欣賞」、「有為者亦若是」的典範例題,那對學生還不至於產生太大的挫折。問題在我們教課的老師常常很「臭屁」,講解給學生聽之後,還要出類似的題型考學生,學生當然會感到困難。
講起數學老師的「驕傲」心態,政大應用數學系教授吳柏林曾在一場座談會上調侃當今數學教育的畸形發展,是「數學老師對現代人越來越聰明看不過去,因此使盡力氣,希望全方位地將學生教笨」。被嚇大的數學零蛋
他指出,如今的數學老師似乎傾向「全方位」將學生教笨,用一些懍然的如ζ等的數學符號,讓學生奉數學為神明,不敢接近;上課時不停地抄黑板,讓學生沒有時間發問;要求解題速度,深信標準答案的權威,不讓學生有懷疑的餘地;不解釋定義定理的來龍去脈,讓學生死記公式定理;課堂教的不要考,教科書上的不要考,最好收集歷年讓學生考不及格的題目來考,各種方法「保證可以讓老師成功,讓小孩不喜歡數學,」吳柏林說。
吳柏林雖說的是玩笑話,但也是對數學教學現狀的描述。師大數學系教授林福來觀察,如今台灣的學童產生「數學焦慮症」的階段,也就是說對數學產生抗拒、認為怎麼學都學不好,或是一碰到數學課就發生恐懼、無助、混亂、緊張不安等現象,很多都在中學階段,特別是國中一年級,有些則更提前到國小五、六年級。
學科難度驟增是原因之一。林福來指出,以現行數學課程來說,從國小四年級到五年級,抽象的程度跳了一層,到了國中又再跳一層。「許多學生卡在以xyz文字為代號的『代數』轉不過來,」林福來說。
「我對數學有困難的是,不能容忍xyz是個數字,而且要算出答案來,」在生活札記上,一位國一學生寫下他對國中數學的感受。
到了國三開始學習幾何,抽象程度更高,老師的講解越是重要。抽象的幾何證明其實也是從實驗幾何而來,例如證明「平行四邊形的兩個對邊相等」,如果老師多費點功夫,國三之前都應有具體測量的經驗,從具體操作到抽象概念,照理說會事半功倍才對。
但如果這些具體操作的概念──所謂前置經驗不夠,或是「學生的『局部推理』的能力──例如三角形若為等腰三角形,兩邊長、兩角就相等……等邏輯反應不是很夠或是有困難,那再學習複雜度更高的幾何分析推理,就會有問題,」林佳蓉老師說。
她指出,目前的情況是,國中老師教得太快太急,學生過去的抽象推理經驗不足,當被導入錯綜複雜,與生活經驗抽離的幾何概念時,當然又是關鍵的數學焦慮之源。既無數字,為何一定要相乘?
作為一個數學語言,類似代數、幾何等抽象性需要時間體會,對初次接觸這些數學觀的學生來說,深入理解本就需要時間。師大數學系教授洪萬生指出,十七世紀清代康熙皇帝初遇耶穌會教士傳入代數時,也有「甲乘甲,乙乘乙,總無數目,即乘出來亦不知是多少」的困惑,跟今日的國中生面臨的困境如出一轍。
要解開學生的抽象困惑,「老師千萬不能急功近利,」洪萬生說,先別罵學生笨,為何會將x+2弄成2x或x平方等,想想人在學習新事物時,原就有很多調整期,「盡量用學生的角度來看問題,」洪萬生說。現在師大對大五實習老師返校的輔導課程,許多精力就集中在處理「準老師」們如何「放下身段,跟學生站在同一程度來看數學」。
另一種解決的方法還有,「不要等問題發生了再說『怎麼學生到現在還轉不過來』,而是從小就要培養學生抽象思考的能力,」台大數學系副教授史英說,他主編的國小民間版數學教科書,在低年級課程裡盡可能融入「三角形兩邊長相加大於第三邊」、「左右」等觀念,目的就是讓小孩提早接觸更多的「抽象思維」。學生捏陶,老師引導
以學生為教育主體,用理解,而非灌輸的方法讓小孩親近數學,從課程、教材到教學方法,近來數學教育的種種嘗試,似乎都在試圖讓數學這個學科「放下身段」,讓所有人都能享受數學學習的快樂。一九九六年,台灣各國民小學的數學課程,全面實施以學生為主體的出發點、「建構主義」精神的課程改革,顯示台灣數學教育的正面努力。
什麼是「建構主義」?對數學教育來說,它的功能是什麼?跟過去的課程相比,它又修正了什麼?
根據美國數學教育家戴維斯的說法,建構主義是數學學習心理上的一項新進展,意思是學習不是一種被動的「複製」活動,而是學習者在認知結構上的主動建立、改造,及發展自我的過程。
教學理論說得艱難枯燥,一位老師用她理解的「捏陶」比喻:教學過程有如捏陶,過去老師比較傾向拿著一本標準流程的小冊,學生只要跟著操作就可以了;如今的教法則是老師講好各種捏泥時間、泥土多少、轉盤速率等操作過程所會達到的結果,讓學生自行決定用哪種方式操作,老師只負責引導,而不做決定。總之就是更重視「學生主體」的意思。
建構主義數學課程的實施,在各小學已持續進行兩年多,不管做不做得到,至少在台北市的各小學,老師都有著共識:「如今教數學『不一定只教會學生算出正確的答案,更重要的是幫助學生理解如何思考數學問題』,」台北市龍安國小一位數學教師說,而在不少小學的數學課裡,各種的實物操作、動手做的活動,也取代過去「講光抄」式的教學。
台北市立師院實小的教師蔡淑英指出,她教國小中年級極易混淆的分數概念,就不那麼強調板書講解,而是以量杯或直尺、繩子等讓孩子「玩」出比例的概念,然後再用拼圖板塗上顏色,讓孩子理解運算的法則。
蔡淑英老師表示,這叫「先從孩子的前置經驗出發」,目的是抓出孩子的「數學感」,小孩有了這種參與、討論,對話的感覺後,數學興趣自然提昇,然後再來講解分數運算,實用例題等,就很順手了。誰說答案錯就不對
不只在學校「動手玩數學」,更衍伸到許多關心孩子數學發展的家庭。「數學不一定只有一個標準答案,也不一定答案錯了就全部不對,」邱守榕教授說,長久以來數學一定要「精準、快速」的想法不再是全部。
以小學低年級小數減大數的「借位」觀念來說,過去的教學比較偏向跟著老師背「小數不能減大數,要先借十」的定律,現今的教學希望孩子透過自己思考「玩」出答案的過程。
邱守榕教授就有過這樣的經驗:有次她看她的孩子跟同伴作「56*38」的運題,邱守榕孩子的作法是將「50*30」,然後再「20+6=26」,「26*8=18」來解;而「26*8」的式子,孩子更有創意的「玩法」是先用「8*6=2」,再用「10*2=8」,得出結果18。另一個孩子用老師所教的「小數減大數不夠借十」的觀念,將「10*8=2」,於是答案為「12」,卻忘了加回「原剩下的6」了。
邱守榕說,小孩會用自己的經驗去「加工處理」聽到的知識,但是透過自己「玩」出來的答案,與被動式接受老師的指導所理解的知識,成就感應該是不同的。
透過自我的摸索,從具象到抽象,這的確是許多小孩學數學的本能,「問題在小孩開始接觸時,我們的數學教育給孩子多少空間、時間,」台大黃敏晃教授說。
台灣開放教育的先鋒「種籽學苑」的老師李雅卿舉過一個例子,她的學校曾有個八歲的孩子弄懂了「為什麼一個數除以1/4會是除以3/4的三倍」,因而得意洋洋地跑來跟數學老師報告。他的想法是「把1/4當作一個計算單位,那麼如果一個餅分給1/4個人,當然會比一塊餅分給三個1/4的人來得多,而且是三倍這麼多。」李雅卿說,當孩子用自己的話說出他的推理過程,自信自然會增加。小嬰兒吃牛排?
李雅卿舉了另一個例子。有一次,種籽學院的一位孩子怎樣也無法接受「3/7*1/2=6/7」的結果,老師於是用具體的大餅切割,一步步講解讓他明瞭除法的運算法則,等到他真正接受「分數除法是倒過來乘」的觀念,已經是一個月以後了。
種籽學苑一到六年級的學生總共才不到三十人,放諸現今一班仍約五十位孩子的一般公立小學,這樣等待學生成長的時間不知有沒有,史英就認為,每個孩子的發展速度有別,學習的過程常常有許多地方「卡」到,在「似懂非懂」間,「教學者應讓孩子走向一條慢慢理解知識的道路,」史英說。
儘管教育改革人士頻頻高呼著數學教育革新,但存在眼前的事實是,家長老師的「功利」心態,還是決定這一波數學改革能否成功的關鍵。
台北市一所私立小學,小學二年級就考「二十六顆糖分給四個人剩幾顆」的題目。彰化師大數學系教授邱守榕就認為,如果這個題目是用實物、活動帶孩子慢慢減,還算程度適中,但如果是二年級就要考學生熟悉除法,就算太過分。「就像一個小嬰兒,卻讓他吃牛排,你說他吐不吐?」邱守榕說。
林福來認為,如今小孩到了國小高年級階段就開始抗拒數學,是因為不管老師家長都想到孩子已經長大了,遲早要面臨升學考試,於是便「期望」孩子多演練數學,造成孩子對數學學習「倒胃口」。
「對孩子來說,如果學會的結果,是隨之而來的更大壓力,那誰要呢?」邱守榕比喻說,有個朋友的孩子很瘦,一直不願好好吃飯,後來才知道他不好好吃完第一碗飯的原因是,「如果第一碗飯吃完,第二、三碗馬上又來了。」
「年級越高,大人們似乎就不再問學生的不同需要有沒被照顧到,是不是快樂學習,」林佳蓉老師說,一個明顯的現實目標:升學擺在那兒,教育的本質就被忽略了。能力本有,數學教得出嗎?
問題在我們對孩子的數學期望究竟是什麼?
從希臘探討宇宙秩序的法則,到十七世紀牛頓發現「蘋果為何會掉下來」的定律,到二十世紀的量子力學等,經過多少先人驗證,數學這個學科找出秩序,「馭繁為簡」的美學的確令人神往。
「對我來說,在教導任何一個公式定理、運算法則時,我所想到的是孩子如何從中體會解決問題的能力,」北市師範學院的蔡淑英老師表示,在孩子探索數學的過程中,她最希望孩子能夠理解,能力是每個人本有的,不一定來自權威──不管是老師,課本,參考書或是爸爸媽媽。
如同千千萬萬的教育實驗,在迎接新作法的同時,改革者難掩成長喜悅,但一路走來,改革也面臨新的問題,而這或許正是過去的優點。
一九九六年國小新課程全面實施,國立台北師範學院數理教育系副教授鍾靜在一九九七年《低年級數學教室文化的轉變研究》報告中指出,經過新課程洗禮的小學生,喜歡上數學課的比例,以及上數學課「會發表、會問問題,學會別人想法,和別人合作」的比例,都比上傳統課程的小朋友明顯提高了。
但是另一方面,孩子的計算能力、作答速度,及學習份量也明顯降低了。這樣的結果使得原先覺得「很幸運可以參與新課程」的家長,從低年級的百分之七十,降到中年級的百分之四十。「有五成多的家長對兒童解題需要花比較長時間、解題策略較基本,作答速度比較慢感到擔心」,「滿多家長不能忍受兒童不會用直式算則、不會用簡捷算式,而且學童的解題過程以大人的觀點來看是繁雜易錯的,」一九九七年,鍾靜另一篇《家長對國小數學課程實施配合兒童認知發展教學的意見調查》研究報告指出。
從新課程改革的初步反應看來,孩子的「數學焦慮症」的確有了療效,但是降低了「數學焦慮」,會不會有一天「數學程度」又會普遍降低?
而台灣嚴格的數學教育下的確也培養出不少考場上的常勝將軍,使得西方學者屢屢前來台灣「取經」,台灣的數學教育似乎仍擺盪在「數學天才」和「數學零蛋」的兩極思考之間;但西方教育學者來台取經時,所看到台灣教育的優越處,卻又正是台灣今日教育改革者所要揚棄的地方,這又如何解讀?